Численные методы математической физики.Составление и отладка программ по методам решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. О. СУХОГО

Факультет автоматизированных и информационных систем

Кафедра «Информационные технологии»

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 3

по дисциплине «Численные методы математической физики»

на тему: «Составление и отладка программ по методам решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)»

Выполнил: студент гр. ИТП-21

Bob X А.В.

Принял: преподаватель

Стародубцев Е.Г.

Гомель 2018

Цель работы: научиться разрабатывать алгоритмы численных методов и программное обеспечение для решения СЛАУ.

ЗАДАНИЕ

Разработать алгоритмы и написать программы, реализующие следующие методы решения СЛАУ:

1. метод Гаусса;

2. метод LU-разложения (в двух модификациях: 1) с единицами на главной диагонали матрицы U; 2) с единицами на главной диагонали матрицы L);

3. метод прогонки;

4. метод простой итерации;

5. метод Гаусса-Зейделя.

Варианты заданий

3

 

 

 

Задание 1. Метод Гаусса

Первый этап решения системы уравнений по методу Гаусса, называемый прямым ходом метода Гаусса, заключается в приведении расширенной матрицы к треугольному виду. Это означает, что все элементы матрицы ниже главной диагонали должны быть равны нулю

Для формирования первого столбца матрицы необходимо из каждой строки (начиная со второй) вычесть первую, умноженную на некоторое число Мi.

Коэффициент М для i-й строки выбирается из условия

, и равен

Очевидно, что если повторить описанный выше алгоритм для следующих столбцов матрицы, причем начинать преобразовывать второй столбец с третьего элемента, третий столбец — с четвертого и т.д.

В результате выполнения прямого хода метода Гаусса матрица преобразуется в матрицу, а система уравнений будет иметь следующий вид:

Решение системы называют обратным ходом метода Гаусса. Формула для вычисления i-го значения x будет иметь вид:

Код программы:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
#include <iostream>

#include <math.h>

#include <windows.h>

using namespace std;

void sysout(double **a, double *y, int n)

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

cout << a[i][j] << "*x" << j;

if (j < n - 1)

cout << " + ";

}

cout << " = " << y[i] << endl;

}

return;

}

double * gauss(double **a, double *y, int n)

{

double *x, max;

int k, index;

const double eps = 0.00001;

x = new double[n];

k = 0;

while (k < n)

{

max = abs(a[k][k]);

index = k;

for (int i = k + 1; i < n; i++)

{

if (abs(a[i][k]) > max)

{

max = abs(a[i][k]);

index = i;

}

}

if (max < eps)

{

cout << "Решение получить невозможно из-за нулевого столбца ";

cout << index << " матрицы A" << endl;

return 0;

}

for (int j = 0; j < n; j++)

{

double temp = a[k][j];

a[k][j] = a[index][j];

a[index][j] = temp;

}

double temp = y[k];

y[k] = y[index];

y[index] = temp;

for (int i = k; i < n; i++)

{

double temp = a[i][k];

if (abs(temp) < eps) continue;

for (int j = 0; j < n; j++)

a[i][j] = a[i][j] / temp;

y[i] = y[i] / temp;

if (i == k) continue;

for (int j = 0; j < n; j++)

a[i][j] = a[i][j] - a[k][j];

y[i] = y[i] - y[k];

}

k++;

}

for (k = n - 1; k >= 0; k--)

{

x[k] = y[k];

for (int i = 0; i < k; i++)

y[i] = y[i] - a[i][k] * x[k];

}

return x;

}

int main()

{

double **a, *y, *x;

int n;

system("chcp 1251");

system("cls");

cout << "Введите кол-во уравнений: ";

cin >> n;

a = new double*[n];

y = new double[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

{

a[i] = new double[n];

for (int j = 0; j < n; j++)

{

cout << "a[" << i << "][" << j << "]= ";

cin >> a[i][j];

}

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

cout << "y[" << i << "]= ";

cin >> y[i];

}

sysout(a, y, n);

x = gauss(a, y, n);

for (int i = 0; i < n; i++)

cout << "x[" << i << "]=" << x[i] << endl;

cin.get(); cin.get();

return 0;

}

Результат выполнения:

Задание 2. Метод LU-разложения

, где A={} – квадратная матрица порядка n.

Следовательно, вектор x можно вычислить из системы

причем она легко решается, так как матрицы L и U – треугольные.

Метод LU разложения с единицами на главной диагонали матрицы L. Представим матрицу в виде произведения треугольных матриц

Таким образом, решение системы с квадратной матрицей коэффициентов сводится к решению двух систем с треугольными матрицами коэффициентов:

Код программы:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
#include "pch.h"

#include <iostream>

#include <vector>

#include <math.h>

#include <windows.h>

using namespace std;

void LU(vector <vector <double> > A, vector <vector <double> > &L, vector <vector <double> > &U, int n)

{

U = A;

for (int i = 0; i < n; i++)

for (int j = i; j < n; j++)

L[j][i] = U[j][i] / U[i][i];

for (int k = 1; k < n; k++)

{

for (int i = k - 1; i < n; i++)

for (int j = i; j < n; j++)

L[j][i] = U[j][i] / U[i][i];

for (int i = k; i < n; i++)

for (int j = k - 1; j < n; j++)

U[i][j] = U[i][j] - L[i][k - 1] * U[k - 1][j];

}

}

void proisv(vector <vector <double> > A, vector <vector <double> > B,

vector <vector <double> > &R, int n)

{

for (int i = 0; i < n; i++)

for (int j = 0; j < n; j++)

for (int k = 0; k < n; k++)

R[i][j] += A[i][k] * B[k][j];

}

void show(vector <vector <double> > A, int n)

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

cout << "\t" << A[i][j] << "\t";

}

cout << endl;

}

}

int main()

{

int n = 3,koef;

vector <vector <double> > A(4), L(n), U(n), R(n);

 

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

cin >> koef;

A[i].push_back(koef);

L[i].push_back(0);

U[i].push_back(0);

R[i].push_back(0);

}

}

LU(A, L, U, n);

cout << "Fisrt matrix" << endl;

show(A, n);

cout << "U matrix" << endl;

show(U, n);

cout << "L matrix" << endl;

show(L, n);

proisv(L, U, R, n);

cout << "L*U matrix" << endl;

show(R, n);

return 0;

}

Задание 3. Метод прогонки

где i=1, 2, n, = 0, = 0. Такие уравнения называют трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Для решения систем существует специальный метод, называемый методом прогонки. Заключается он в следующем. Предположим, что существуют такие наборы чисел , для которых

Необходимо выяснить сходимости этого метода.

Необходимо преобразовать матрицу, чтобы данное условие выполнялось:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. 5 1 2 3

Выполним преобразование С = С-A:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2  4 6
  3. 2 2 1 -9

Далее выполним еще раз С= С-А

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. -1 3 0 -21

Поменяем местами B и C

  1. 3 -1 1 12
  2. -1 3 0 -21
  3. 1 2 4 6

Код программы:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
#include "pch.h"

#include <iostream>

#include "conio.h"

#include "math.h"

#include "iostream"

using namespace std;

int i, n, k, n1;

double z;

double A[50][50];

double B[50];

double eps[50];

double X[50];

double et[50];

int main()

{

cout << "Vvedite razmernost matrici: ";

cin >> n1;

cout << "Vvedite " << n1 << " strok po " << n1 << " 4isel:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

for (k = 0; k < n1; k++)

cin >> A[i][k];

cout << "Matrix A:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

{

for (k = 0; k < n1; k++)

cout << A[i][k] << "\t ";

cout << endl;

}

cout << "Vvedite " << n1 << " 4isel:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

cin >> B[i];

cout << "Matrix B:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

cout << B[i] << endl;

n = n1 - 1;

eps[0] = -A[0][1] / A[0][0];

et[0] = B[0] / A[0][0];

for (i = 1; i < n; i++)

{

z = A[i][i] + A[i][i - 1] * eps[i - 1];

eps[i] = -A[i][i + 1] / z;

et[i] = (B[i] - A[i][i - 1] * et[i - 1]) / z;

}

X[n] = (B[n] - A[n][n - 1] * et[n - 1]) / (A[n][n] + A[n][n - 1] * eps[n - 1]);

for (i = n - 1; i >= 0; i--)

X[i] = eps[i] * X[i + 1] + et[i];

cout << "Matrix X:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

cout << X[i] << endl;

_getch();

return 0;

}

Задание 4. Метод итерации

или в развернутом виде:

Алгоритм метода простой итерации заключается в следующем:

  1. Проверка условий (2.36), если они не выполняются, то работа алгоритма завершена, иначе переходим к п.2.
  2. Формирование матрицы α и массива β по формулам (2.31).
  3. Формирование начального приближения по (2.33).
  4. Расчет нового приближения по (2.34).
  5. Если условие (2.35) выполняется и максимальная ошибка вычислений меньше заданного числа ε, то решение найдено, иначе переходим к п.4.

Необходимо выяснить являются ли преобладающими диагональные элементы. Это очень важный шаг, проверяется условие сходимости этого метода. Нужно чтобы оно выполнялось. Для нашей системы данное условие не выполняется.

Необходимо преобразовать матрицу, чтобы данное условие выполнялось:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. 5 1 2 3

Выполним преобразование С = С-A:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2  4 6
  3. 2 2 1 -9

Далее выполним еще раз С= С-А

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. -1 3 0 -21

Поменяем местами B и C

  1. 3 -1 1 12
  2. -1 3 0 -21
  3. 1 2 4 6

Код программы:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
#include "pch.h"

#include <iostream>

#include <locale>

#include <cmath>

#include <iomanip>

#include <iostream>

using namespace std;

double f1(double x1, double x2, double x3);

double f2(double x1, double x2, double x3);

double f3(double x1, double x2, double x3);

double g1(double x1, double x2, double x3);

double g2(double x1, double x2, double x3);

double g3(double x1, double x2, double x3);

double shag = 0.0005; //Шаг приращения

int main()

{

setlocale(LC_ALL, "Russian");

cout << "\tВведите начальное приближение, свободные члены\n";

double x1; cout << "x1 = "; cin >> x1;

double x2; cout << "x2 = "; cin >> x2;

double x3; cout << "x3 = "; cin >> x3;

double er; cout << "Введите погрешность = "; cin >> er;

 

for

(

double it = 0;

er < fabs(f1(x1, x2, x3)) || er < fabs(f2(x1, x2, x3)) || er < fabs(f3(x1, x2, x3));

it = it + 1

)

{

cout << "Итерация # " << setprecision(0) << it << endl;

cout << "x1 " << setprecision(0) << (x1 = g1(x1, x2, x3)) << endl;

cout << "x2 " << setprecision(0) << (x2 = g2(x1, x2, x3)) << endl;

cout << "x3 " << setprecision(0) << (x3 = g3(x1, x2, x3)) << endl;

}

cout << "f1(x1, x2, x3) = " << f1(x1, x2, x3) << endl;

cout << "f2(x1, x2, x3) = " << f2(x1, x2, x3) << endl;

cout << "f3(x1, x2, x3) = " << f3(x1, x2, x3) << endl;

system("pause");

return 0;

}

double f1(double x1, double x2, double x3)

{

return 3 * x1 - x2 + x3 - 12;

}

double f2(double x1, double x2, double x3)

{

return -1*x1 + 3*x2 + 0 * x3 + 21;

}

double f3(double x1, double x2, double x3)

{

return x1 + 2 * x2 +4*x3 - 6;

}

double g1(double x1, double x2, double x3)

{

return x1 - shag *f1(x1, x2, x3);

}

double g2(double x1, double x2, double x3)

{

return x2 - shag *f2(x1, x2, x3);

}

double g3(double x1, double x2, double x3)

{

return x3 - shag *f3(x1, x2, x3);

}

Задание 5. Метод Зейделя

Выполним следующие преобразования:

Пусть:

Тогда система:

эквивалентна системе и обладает следующими свойствами:

Необходимо выяснить сходимости этого метода.

Необходимо преобразовать матрицу, чтобы данное условие выполнялось:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. 5 1 2 3

Выполним преобразование С = С-A:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2  4 6
  3. 2 2 1 -9

Далее выполним еще раз С= С-А

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. -1 3 0 -21

Поменяем местами B и C

  1. 3 -1 1 12
  2. -1 3 0 -21
  3. 1 2 4 6

Код программы:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
#include "pch.h"

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <cmath>

#include <windows.h>

using namespace std;

class Matr

{

private:

int size;

double **mas;

double *mas1;

public:

Matr()

{

size = 0;

mas = NULL;

mas1 = NULL;

}

Matr(int l)

{

size = l;

mas = new double*[l];

for (int i = 0; i < l; i++)

mas[i] = new double[l];

mas1 = new double[l];

}

void Add()

{

for (int i = 0; i < size; i++)

for (int j = 0; j < size; j++)

cin >> mas[i][j];

for (int i = 0; i < size; i++)

{

cin >> mas1[i];

}

}

void Print()

{

for (int i = 0; i < size; i++)

{

for (int j = 0; j < size; j++)

{

cout << setw(4) << mas[i][j] << " ";

}

cout << " " << mas1[i] << endl;

}

}

void Preob()

{

double temp = 0;

for (int k = 0; k < size; k++)

{

for (int i = 0; i < size; i++)

{

temp = mas[i][i] * (-1);

mas1[i] /= temp;

for (int j = 0; j <= size; j++)

{

mas[i][j] /= temp;

}

}

}

for (int i = 0; i < size; i++)

{

mas1[i] *= -1;

for (int j = 0; j < size; j++)

mas[i][i] = 0;

}

}

double Pogr(double **mas, double epsilon)

{

double eps = 0; double sum = 0, max = 0;

double norm1 = 0, norm2 = 0;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

for (int j = 0; j < i; j++)

{

sum += fabs(mas[i][j]);

if (sum > norm1) norm1 = sum;

}

sum = 0;

for (int j = i + 1; j < size; j++)

{

sum += fabs(mas[i][j]);

if (sum > norm2) norm2 = sum;

}

sum = 0;

}

if (norm1 >= 1 || norm2 >= 1)

{

cerr << "Норма матрицы больше или равна 1,т.е. не имеет решения" << endl;

Sleep(4000);

exit(1);

}

eps = ((1 - norm1) / norm2)*epsilon;

return eps;

}

void Itera(double epsilon)

{

double *x = new double[size];

double *p = new double[size];

double *a = new double[size];

double *E = new double[size];

double per = Pogr(mas, epsilon), max = 0;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

x[i] = mas1[i];

p[i] = 0;

}

double var = 0;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

var = 0;

for (int k = 0; k < size; k++)

var = mas[i][k] * mas1[k];

x[i] = var;

}

for (int i = 0; i < size; i++)

p[i] = x[i] + mas1[i];

int counter = 0;

do

{

counter++;

cout << "Итерация № " << counter << endl << endl;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

var = 0;

for (int j = 0; j < i; j++)

var += (mas[i][j] * p[j]);

for (int j = i + 1; j < size; j++)

var += (mas[i][j] * x[j]);

a[i] = var;

x[i] = mas1[i] + a[i];

}

max = 0;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

E[i] = fabs(x[i] - p[i]);

if (max < E[i]) max = E[i];

p[i] = x[i];

cout << "x" << i + 1 << "=" << x[i] << " " << endl;

}

cout << endl;

cout << "max =" << max << endl << endl;

} while (max > per);

cout << endl << "Результат: \n\n";

for (int i = 0; i < size; i++)

cout << "x" << i + 1 << "=" << x[i] << " " << endl;

delete[] x;

delete[] p;

delete[] E;

delete[] a;

}

~Matr()

{

for (int i = 0; i < size; i++)

 

delete mas[i];

delete mas;

}

};

int main()

{

setlocale(LC_ALL, "rus");

int n; double epsi;

cout << "Введите количество уравнений: ";

cin >> n;

cout << "Введите желаемую точность: ";

cin >> epsi;

Matr a(n);

cout << "Введите матрицу коэффициентов, потом столбец свободных членов:" << endl;

a.Add();

cout << endl << "Расширенная матрица:" << endl;

a.Print();

a.Preob();

cout << endl << "Преображенная матрица" << endl;

a.Print();

cout << endl;

a.Itera(epsi);

cout << endl;

system("pause");

return 0;

}

Результат выполнения программы:

Вывод: научились разрабатывать алгоритмы численных методов и программное обеспечение для решения СЛАУ.

Добавить комментарий